含有类有关论文怎么撰写 与含有2的幂次的Euler和方面论文如何写

《含有2的幂次的Euler和》

本文是有关含有学士学位论文范文跟Euler和幂和研究类硕士论文范文。

摘 要:利用生成函数及特殊函数的积分,建立含有2n的Euler和与交错Euler和的关系,并系统地得到一些含有2n的Euler和的值.结果表明：权2,3的含有2n的Euler和可以用zeta值表示；权4的含有2n的Euler和可以用Li412、ln(2)及zeta值表示；权5的两个含有2n的Euler和S4,112、S122,112可以分别用Li512、Li412、ln(2)及zeta值表示.

关键词：调和数；生成函数；Euler和

中图分类号：O157.1文献标志码：A文章编号：1673\|3851(2018)09\|0619\|05

0引言

广义调和数的定义为

H(p)0等于0,H(p)n等于∑nj等于11jp,n,p等于1,2,….

当p等于1时为经典的调和数,用Hn表示.设p1,p2,…,pm为正整数,且p1≤p2≤…≤pm,x∈［－1,1),记

Sp1p2…pm,q(x)等于∑∞n等于1H(p1)nH(p2)n…H(pm)nnqxn,

称p1+…+pm+q为Sp1p2…pm,q(x)的权.为方便起见,类似整数分拆的记法,将重复的数字用幂的形式来表示,例如,

S12234,p(x)等于S112224,p(x)等于∑∞n等于1H2n(H(2)n)3H(4)nnpxn．

在Sp1p2…pm,q(x)中令x等于1,就得到经典的Euler和Sp1p2…pm,q.Berndt［1］指出,Euler和的研究起源于1742年,在与Goldbach的通信中,Euler首先考虑了线性和

Sp,q等于∑∞n等于1H(p)nnq,p≥1,q≥2,

并得出很多结果.例如,Euler指出当q≥2时,S1,q可以用zeta值表示：

S1,q等于1+q2ζ(q+1)－12∑q－2k等于1ζ(k+1)ζ(q－k),

其中zeta值就是Riemannzeta函数ζ(s)等于∑∞j等于11js在正整数处的值.Euler还指出当p等于q,p+q为奇数,(p,q)等于(2,4)或(4,2)时,线性和Sp,q可以用zeta值表示.之后,Euler和的研究受到很多著名数学家的关注.例如,Baliey等［2］利用PSLQ算法进行数值计算,得到很多Euler和的表达式.Borwein等［3］研究了二次Euler和S12,q与S2,q的关系.Flajolet等［4］利用Contour积分与留数计算得到了几类Euler和的表达式.近年来,Euler和的研究又取得了很大的进展.Xu等［5］基于对Tornheim型级数的计算提出了一种计算非线性Euler和的方法,进而得到一些二次与三次Euler和的表达式.Xu［6］通过多重积分,建立了非线性Euler和与多重zeta值的关系,得到了很多Euler和.Wang等［7］利用Bell多项式、生成函数以及特殊函数的积分,建立了许多混合Euler和与Stirling和,并提出了计算未知Euler和的算法.在Sp1p2…pm,q(x)中令x等于－1,得到交错Euler和；令x等于12,得到含有2n的Euler和.关于这两种形式的Euler和的研究工作也有很多.Doelder［8］通过多对数函数及对数函数的积分,研究了∑∞k等于1xkkqψ(k)－ψ(1)p,其中：p等于1,2；q等于1,2,3；ψ(x)为digamma函数,ψ(x)等于dlnΓ(x)dx等于Γ′(x)Γ(x),ψ(k)－ψ(1)等于Hk－1．Doelder在上述无穷级数中令x等于－1及x等于12得到几个交错的Euler和与含有2n的Euler和.Choi等［9］利用Kummer求和公式得到6个含有2n的Euler和,例如,S1,212、S12,212与S2,212.Xu等［1011］利用特殊函数积分、Stirling数、Bell多项式以及Dirichlet级数得出了很多交错Euler和及一些其他形式的级数.本文主要研究含有2n的Euler和,并通过生成函数及特殊函数积分系统地计算出一些低阶的含有2n的Euler和的值.1一些引理引理1当k≥1时,第一类无符号Stirling数满足如下生成函数：

∑∞n等于1n

ktnn！等于(－1)kk！lnk(1－t)（1）

∑∞n等于1n

ktnn·n！等于∑k+1j等于1(－1)k－j(k－j+1)！lnk－j+1(1－t)

Lij(1－t)+ζ(k+1)（2）

其中Lip(x)等于∑∞n等于1xnnp为多对数函数.引理1中（1）即为第一类无符号Stirling数的指数型生成函数.Wang等［7］在（1）的基础上通过积分进一步得到生成函数（2）.利用第一类无符号Stirling数与Bell多项式的关系［7］：

n+1

k+1等于(－1)kn！k！Yk(－0！H(1)n,－1！H(2)n,…,

－(k－1)！H(k)n),

可以将（1）和（2）改写为

∑∞n等于1(－1)k－1∑k－1i等于0k－i－1(n)(k－i－1)！ni+1tn等于(－1)kk！lnk(1－t)（3）∑∞n等于1(－1)k－1∑k－1i等于0k－i－1(n)(k－i－1)！ni+2tn等于

∑k+1j等于1(－1)k－j(k－j+1)！lnk－j+1(1－t)Lij(1－t)+ζ(k+1)（4）

其中k(n)等于Yk(－0！H(1)n,－1！H(2)n,…,－(k－1)！H(k)n),Yk(x1,x2,…,xk)为指数型完全Bell多项式

exp∑∞m等于1xmtmm！等于∑∞k等于0Yk(x1,x2,…,xk)tkk！.

当t等于12时,由（3）和（4）可以得到

∑∞n等于1(－1)k－1∑k－1i等于0k－i－1(n)(k－i－1)！ni+1·2n等于lnk(2)k！（5）∑∞n等于1(－1)k－1∑k－1i等于0k－i－1(n)(k－i－1)！ni+2·2n等于

∑k+1j等于1－lnk－j+1(2)(k－j+1)！Lij12+ζ(k+1)（6）

由（5）和（6）可以进一步得到含有2n的Euler和的关系式.此外,Wang等［7］利用序列(Hn)及(H(r)n)的生成函数得到H2nn2及H(r)nn的生成函数.引理2序列H2nn2以及序列H(r)nn满足如下生成函数：

∑∞n等于1H2nn2tn等于Li4(t)+12Li22(t)－13ln3(1－t)ln(t)－

ln2(1－t)Li2(1－t)+2ln(1－t)Li3(1－t)－

2Li4(1－t)+2ζ(4)（7）

∑∞n等于1H(r)nntn等于(r+1)Lir+1t－Lir(t)ln(1－t)－

∑∞n等于1Hnnrtn－∑r－1j等于1∑∞n等于1H(j)nnr-j+1tn（8）

在（8）中令t等于12,可得

Sr,112等于(r+1)Lir+112+Lir12ln(2)－

S1,r12－∑r－1j等于1Sj,r－j+112（9）

再令r取特殊值也可得到含有2n的Euler和的关系式.最后,Choi等［9］利用Kummer求和公式得到两个含有2n的无穷级数的表达式.引理3设k≥0为整数,则

∑∞n等于1pkn·2n等于(－1)k2k－12kζ(k+1)（10）

∑∞n等于1pkn2·2n等于(-1)k+12k-12kζ(k+1)ln(2)+

(-1)k2(k+1)ζ(k+2)+

(-1)k+12k+1∑k-1i等于1(2i-1)(2k-i-1)ζ(i+1)ζ(k-i+1)（11）

其中pk满足以下递推关系：

p0等于1,p1等于－Hn,

(k+1)pk+1等于∑ki等于0(－1)i+1H(i+1)npk－i．2权2,3,4的含有2n的Euler和的计算利用上述引理可以系统地得到权2,3,4的含有2n的Euler和的值.定理1权为2,3的4个含有2n的Euler和可以用zeta值表示.证明权为2,3的4个含有2n的Euler和为S1,112、S12,112、S1,212与S2,112.在（5）中,令k等于2得S1,112－Li212等于12ln2(2),即S1,112等于12ζ(2).在（5）中令k等于3,在（6）和（10）中令k等于2,可以得到12S12,112－12S2,112－S1,212+

Li312等于16ln3(2),

S1,212－Li312等于－12ln3(2)－ln(2)Li212－Li312+ζ(3),

12S12,112+12S2,112等于34ζ(3)．解以上三个线性方程构成的方程组可以得到权3的所有Euler和：

S12,112等于78ζ(3),S1,212等于ζ(3)－12ζ(2)ln(2),S2,112等于58ζ(3)．定理2权4的6个含有2n的Euler和可以用Li412、ln（2）及zeta值表示.证明权4的6个含有2n的Euler和为S13,112、S12,212、S1,312、S12,112、S2,212与S3,112.在（5）中令k等于4,可以得到13S3,112－12S12,112+16S13,112+12S2,212－12S12,212+S1,312－

Li412等于124ln4(2)．

类似地,在（6）和（10）中令k等于3,在（11）中令k等于2可以得到另外3个方程.除此之外,在（7）中令t等于12,在（9）中令r等于3,可以得到

S12,212等于∑∞n等于1H2nn2·2n等于－Li412+3716ζ(4)－74ζ(3)ln(2)+14ζ(2)ln2(2)－124ln4(2),

S3,112等于4Li412+Li312ln(2)－2S1,312－S2,212．

解以上线性方程组可以得到权4的所有Euler和：

S13,112等于－5Li412+254ζ(4)－358ζ(3)ln(2)+

54ζ(2)ln2(2)－524ln4(2),

S12,212等于－Li412+3716ζ(4)－74ζ(3)ln(2)+

14ζ(2)ln2(2)－124ln4(2),

S1,312等于Li412+18ζ(4)－18ζ(3)ln(2)+

124ln4(2),

S12,112等于Li412－18ζ(4)+78ζ(3)ln(2)－

14ζ(2)ln2(2)+124ln4(2),

S2,212等于Li412+116ζ(4)+14ζ(3)ln(2)－14ζ(2)ln2(2)+124ln4(2),

S3,112等于Li412－516ζ(4)+78ζ(3)ln(2)－

14ζ(2)ln2(2)+124ln4(2)．3含有2n的Euler和与交错Euler和的关系Xu［12］通过以下积分定义了序列(Yk(n))：

Yk(n)等于(－1)kn∫10(－1)n－1lnk(1－x)dx.

该序列满足如下递推公式：

Y0(n)等于1,

Yk(n)等于∑k－1j等于0k－1

j(k－j－1)！H(k－j)nYj(n)．

利用序列(Yk(n))可以建立含有2n的Euler和与交错Euler和的关系.定理3对于正整数k,有

∑∞n等于1H(m+1)nn·2n等于1m！·∑∞n等于1Ym(n)n2(－1)n－1．证明考虑积分Im等于∫10ln1－x2lnmx1－xdx.一方面,将ln1－x2展开并计算所得积分有Im等于-∑∞n等于11n·2n∫10xnlnmx1-xdx

等于(-1)m+1m！ζ(m+1)ln(2)+

(-1)mm！∑∞n等于1H(m+1)nn·2n（12）

另一方面,直接做变量替换x→1－t可得Im等于∫10ln1+t2lnm(1-t)tdt

等于(-1)m∑∞n等于1Ymnn2(-1)n-1+

ln(2)·(-1)m+1m！ζm+1（13）

结合（12）和（13）可以得到结果.推论1含有2n的Euler和S4,112、S122,112

可以由Li512、Li412、ln(2)及zeta值表示：

S4,112等于16∑∞n等于1H3n+3HnH(2)n+2H(3)nn2(－1)n－1

等于－Li512－Li412ln(2)+2732ζ(5)+

716ζ(2)ζ(3)－716ζ(3)ln2(2)+

16ζ(2)ln3(2)－130ln5(2),

S122,112等于3Li512+3Li412ln(2)－3132ζ(5)－716ζ(2)ζ(3)+2116ζ(3)ln2(2)－

112ζ(2)ln3(2)+110ln5(2)．证明在定理3中令k等于3,再结合［10］中交错Euler和的值即可得到S4,112.再令（5）中的k等于5,令（6）,（10）中的k等于4,可以得到

S122,112+S4,112等于－18ζ(5)+115ln5(2)－

13ζ(2)ln3(2)+78ζ(3)ln2(2)+

2Li412ln(2)+2Li512,进而可以解出S122,112.4结论本文利用生成函数的方法得到权2,3,4的所有含有2n的Euler和,并利用特殊函数积分的方法建立含有2n的Euler和与交错Euler和的关系,由此计算出两个权5的含有2n的Euler和.笔者将在后续的研究中利用生成函数、特殊函数积分,建立更多的含有2n的Euler和与交错Euler和的关系,得到足够多的方程,由此求解出所有权5、6的含有2n的Euler和.

参考文献：

［1］BerndtBC.RamanujansNotebooks.PartI［M］.NewYork:SpringerVerlag,1985.

［2］BaileyD,BorweinJ,RolandGirgensohn.ExperimentalevaluationofEulersums［J］.ExperimentalMathematics,1994,3(1):1730.

［3］BorweinD,BorweinJM.ExplicitevaluationofEulersums［J］.ProceedingsoftheEdinburghMathematicalSociety,1995,38(2):277294.

［4］FlajoletPhilippe,SalvyBruno.Eulersumsandcontourintegralrepresentations［J］.ExperimentalMathematics,1998,7(1):1535.

［5］XuC,LiZ.TornheimtypeseriesandnonlinearEulersums［J］.JournalofNumberTheory,2017,174:4067.

［6］XuC.MultiplezetaluesandEulersums［J］.JournalofNumberTheory,2017,177:443478.

［7］WangW,LüY.EulersumsandStirlingsums［J］.JournalofNumberTheory,2018,185:160193.

［8］DoelderPJD.Onsomeseriescontainingψ(x)ψ(y)and(ψ(x)ψ(y))2forcertainvaluesofxandy［J］.JournalofComputationalandAppliedMathematics,1991,37(13):125141．

［9］ChoiJ,SrivastaHM.ExplicitevaluationofEulerandrelatedsums［J］.RamanujanJournal,2005,10(1):5170.

［10］XuC.SomeformulasofDirichletseries［EB/OL］.(20170801)［20180404］.https://www.researchgate.net/publication/319182409．

［11］XuC,CaiY.OnharmonicnumbersandnonlinearEulersums［EB/OL］.(20011219)［20020415］.http://adsabs.harvard.edu/abs/2016arXiv160904924X.

［12］XuC,YanY,ShiZ.Eulersumsandintegralsofpolylogarithmfunctions［J］.JournalofNumberTheory,2016,165:84108.

StudiesonEulersumswithpowerof2

CHENYao,WANGWeiping

(SchoolofSciences,ZhejiangSciTechUniversity,Hangzhou310018,China)Abstract：Inthispaper,generatingfunctionsandintegralsofspecialfunctionsareusedtoestablisharelationbetweentheEulersumswith2nandthealternatingEulersums,andsomespecialEulersumswithpowerof2areobtainedsystematically.TheresultsshowthattheEulersumswith2nofweights2,3canbeexpressedwithzetalues.TheEulersumswith2nofweight4canbeexpressedwithLi412,ln(2)andzetalues.ThetwoEulersumswith2nofweight5,S4,112andS122,112canbeexpressedwithLi512,Li412,ln(2)andthezetalues.Keywords：harmonicnumbers;generatingfunctions;Eulersums(责任编辑：康锋)

含有论文参考资料：

归纳上述：上述文章是适合不知如何写Euler和幂和研究方面的含有专业大学硕士和本科毕业论文以及关于含有论文开题报告范文和相关职称论文写作参考文献资料。