原创《例谈数学实验的三大功效》
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摘 要：数学实验已成为数学课堂一种重要的教学手段,它能让学生以直观操作辅助抽象思维.《圆》的教学可以体现数学实验的三大功效：巩固基本概念、理解算理算法、体会极限思想.应以问题为引领,让学生产生数学实验的内在需求；数学实验的过程要让学生有思维的参与,不能只顾动手操作；可采用合作学习的方式开展数学实验,让学生相互交流和讨论,使实验更加完善,得出的结论更加客观.
关键词：数学实验基本概念算理算法极限思想
数学实验已成为数学课堂一种重要的教学手段,它能让学生以直观操作辅助抽象思维.苏教版小学数学五年级下册第六单元《圆》的教学,可以体现数学实验的三大功效：巩固基本概念、理解算理算法、体会极限思想.
一、巩固基本概念
《圆的认识》是起始课,教材中没有直接给出圆的定义,而是列举出生活中一些常见的物体来说明什么是圆.那么,如何让学生理解同一圆内所有的半径（直径）都相等呢？此时,可以采用数学实验,帮助学生巩固圆的基本概念.具体教学过程如下——
第一步,创设情境,提出问题.
出示（或叙述）：“体育课上,同学们想玩套圈游戏,即大家围成一圈,中间立一根套圈桩,看谁套中得多.要使套圈游戏公平合理,大家围成的圈应该怎样画？套圈桩应该放在什么位置？根据提供的材料模拟一下.”提供材料：图钉,用来模拟套圈桩；细线,用来模拟没有伸缩性的绳子；皮筋,用来模拟有伸缩性的皮筋；其他常用文具,如纸、笔、尺等.
第二步,尝试画圆,交流心得.
有学生用细线绕图钉画圆,有学生用皮筋绕图钉画圆.画完后,让学生根据实际操作,交流心得体会.学生发现：用细线绕图钉画圆能画出比较标准的圆,并且细线的长度不同,画出的圆大小也不同；而用皮筋则很难画出标准的圆.
第三步,得出结论,解决问题.
引导学生得出结论：画圆时,细线没有伸缩性,长度是固定的,所以圆上的任意一点到圆心（图钉）的距离都相等；而这一点正是游戏的公平性所需要的,即每个人到套圈桩的距离都相等.引导学生解决问题：可以将套圈桩固定,相当于图钉（圆心）；在长绳子上取固定的长度,用笔做一个记号；将绳子的一端固定在套圈桩的位置,在记号处绕着套圈桩画一个圆.
这样的数学实验旨在让学生感受到圆的特征,明确圆上的任意一点到圆心的距离都相等,即同一圆内所有的半径（直径）都相等；同时,让学生体会到只能用没有弹性的绳子画圆,不同长度的绳子画出的圆大小不一样,为后续学习圆规画圆、圆的周长、圆的面积做铺垫.
二、理解算理算法
《圆的周长》一课是学生首次接触曲线图形的相关性质,也是后面学习圆的面积以及圆柱、圆锥等知识的基础.其中,π的认识更是小学“图形与几何”领域一项重要的教学内容.此处可以通过数学实验,将抽象的周长概念建立在直观的实物操作上,让学生更容易理解圆的周长的算理和算法.具体教学过程如下——
第一步,创设情境,提出猜想.
呈现教材图片（如图1）和问题：“三个不同尺寸的车轮各滚动一周,哪个车轮行的路程比较长？”指出：“车轮一周的长度就是圆的周长.”在学生发表意见后,提问：“是不是直径越大,周长也越大呢？”在学生表示赞同后,追问：“这只是大家的一个猜想,如何验证这个猜想呢？我们可以通过实验来进行验证.”
图1
第二步,制订方案,动手操作.
各个小组根据各自准备的教具讨论制订实验方案.大体实验方案为：用三个大小不同的圆在一条拉直的线上滚动一周,然后测量出每个圆的直径和滚动一周的长度并进行对比.为尽量提高实验结果的准确性,学生实验时教师可以适当参与其中,进行指导.比如,测量时线要拉直,滚动时要滚动完整的一周,计算时遇到除不尽的情况要保留两位小数.各个小组在明确实验操作步骤后,小组成员分工合作,有的负责测量,有的负责记录,有的负责计算,有的负责核验,有条不紊地各司其职.
第三步,分析数据,得出结论.
引导各个小组观察并分析数据,初步得出圆的周长与直径之间的关系.教学时,适机呈现教材例5的图形（如图2）,以便学生参考.在这一过程中,有的小组可能会出现数据偏差较大或计算错误等情况,教师应该理性回应并正确引导,特别要向学生说明：测量过程中误差是不可避免的,应当采用正确的测量方法,尽量减小误差,提高测量的准确性,使数据具有更高的可信度.
图2
第四步,验证猜想,总结提升.
学生依据数据分析得到实验结论,验证了猜想,即直径越大周长也越大.在此基础上,引导学生认识到：任何一个圆的周长除以它的直径都是一个固定的数,这个固定的数叫作圆周率,用字母π表示,π是一个无限不循环小数,在计算时一般保留两位小数,取其近似值3.14.同时,补充圆周率的相关内容,让学生在掌握知识的同时提升情感态度和价值观.比如,我国魏晋时期的数学家刘徽发明“割圆术”（可借助多媒体课件同步演示“割圆术”的动态过程）以及南北朝时期的科学家祖冲之计算圆周率的故事.
三、体会极限思想
《圆的面积》一课是在学生初步认识了圆及圆的周长之后,学过了几种常见直线型图形的面积的基础上进行教学的.从直线图形的面积到曲线图形的面积,无论是内容本身还是研究方法,都是一次质的飞跃.本课的数学实验中动手操作有一定的局限性,可以借助计算机技术动态地展示静态的结构,使抽象的内容直观化、具体化,引导学生自主探究数学知识,检验数学结论,并且体会极限思想.具体教学过程如下——
第一步,创设情境,提出猜想.
课件呈现图片（如图3）和问题：“一只羊被拴在树上,羊最多能吃多大面积草地的草？”指出：“圆所围成的平面的大小就叫作圆的面积.”根据学生的回答,提问：“圆的面积可能与什么有关? ”适机出示教材例7图形（如图4）,追问：“猜一猜,圆的面积大约是正方形的几倍？”对学生的多种猜测结果进行引导：“只有通过验证才能知道我们的猜想是否正确.”
图3图4
第二步,动态演示,初步感知.
学生用数方格的方法初步验证.根据学生反馈的结果,借助计算机技术进行直观的动态演示,对不同半径的圆按此类方法计数,再与学生的计算结果比对,将结果填入表格进行观察,让学生初步感知圆的面积是它半径平方的3倍多一些.教师进一步引导：“大家通过猜测估算、数方格、计算机演示等方法,发现圆的面积是正方形面积的3倍多一些,而正方形的面积就是圆的半径的平方.这是一个大概的数据,还需要通过实验操作继续研究,推导出准确的计算圆的面积的公式.”
第三步,实验操作,推导公式.
启发学生通过回忆平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的推导过程,思考圆的面积应该怎样推导.学生借助已有的学习经验,自然会联想到运用转化的方法开展实验.让各个小组进行实验操作：先将圆剪成4等份进行拼接,然后剪成8等份再拼接,逐渐增加等分数.学生发现：平均分的份数越多,拼成的图形越接近长方形；但是,如果再增加平均分的份数,操作起来比较麻烦,也很耗时.此时,借助计算机技术进行模拟,将圆继续平均分,让学生直观地观察到剪拼后的图形越来越接近长方形.引导学生进一步讨论,得出结论：长方形的宽等于圆的半径,长方形的长等于圆的周长的一半,长方形的面积等于圆的面积,从而推导出圆的面积计算公式.
综合分析以上三个数学实验,可以发现其共同点：首先,应以问题为引领,通过创设合适的情境,提出有价值的问题,让学生产生数学实验的内在需求；其次,数学实验的过程要让学生有思维的参与,不能只顾动手操作,只有这样,学生才能主动思考、自主探究、勇于创新；最后,可采用合作学习的方式开展数学实验,让学生各有分工、各尽其责,相互交流和讨论,使实验更加完善,得出的结论更加客观.
参考文献：
［1］ 董林伟等.初中数学实验的理论与实践研究［M］.南京：江苏凤凰科学技术出版社,2016.
［2］ 董林伟,孙朝仁.初中数学实验的理论研究与实践探索［J］.数学教育学报,2014（6）.学科教育
数学实验论文参考资料：
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