原创《反初等矩阵性质与应用》
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摘 要:在初等矩阵性质综合研究的基础上,定义了一类反初等矩阵,并研究了其相关性质及应用.首先基于FlipＧ矩阵的定义,给出了一类新的矩阵Ｇ反初等矩阵的定义及其表述形式;然后研究并给出其相关基本性质以及与初等矩阵的关系;最后给出反初等矩阵在计算方面的一些应用.相关研究成果对进一步研究次对称矩阵的相关理论具有潜在的重要意义.
关键词:FlipＧ矩阵;反初等矩阵;三对角形矩阵;Vandermonde矩阵
中图分类号:O１５１．２１ 文献标志码:A 文章编号:１６７３Ｇ３８５１(２０１８)０５Ｇ０３６２Ｇ０５
０ 引 言
矩阵这一概念最初由１９ 世纪的英国数学家Cayley提出[１].经过几个世纪的发展,其现在不仅是高等代数学中的常见工具,相关理论结果也被广泛应用于应用数学、物理学、计算机科学等众多学科中.矩阵是将重要的信息数据存储在一个数据表中,把复杂和抽象的问题进行简化,通过代数的方法对其进行研究,从而得到一些重要的结论,实际的很多应用中都渗透着相关矩阵理论.麻曰亮等[２]利用阈值函数收缩Gram 矩阵非对角线上较大值,设计了一个新优化算法,通过平均化Gram 矩阵特征值来降低测量矩阵的整体相关系数,该算法在保证整体相关系数最低的同时,又使最大值相关系数显著降低.程昀等[３]针对传统DEA 模型无法有效评价矩阵型网络系统效率的问题,构建了矩阵型网络决策单元的生产可能集,建立了矩阵型网络DEA 模型,实验结果表明矩阵型网络DEA 模型能精确地计算出各个子过程的效率,并辨识出具体需要改进的子过程.Cheng[４]为了处理多维数据和使用线性方法来解决非线性的问题,定义了一个新的矩阵乘积Ｇ半张量积,并给出了该乘积的性质描述和应用.
次对角线矩阵是矩阵中的重要一类分支,其相关理论[５Ｇ６]也非常重要,如表示具有反对称性质的图像数据等.袁晖坪等[７]研究了反对称矩阵的性质,给出了反对称矩阵相关秩分解和广义逆计算的快速方法.李珍珠[８]研究了线性流形上的广义次对称矩阵的逆特征值问题,同时给出了左右逆特征值的最佳近似解的求解方法.胡丽莹等[９]基于共轭梯度法的思想,研究了一类矩阵方差的最小二乘反对称次对称解,并给出了求解最佳近似解的方法.陈特清等[１０]给出了实次对称矩阵和次对称变换的若干性质,并把二者统一起来.
初等矩阵是矩阵理论中一个重要且最基本的概念,它在求矩阵的秩、逆矩阵的计算以及线性方程组的求解等方面都起着重要的作用,众多高等代数学相关教材[１,１１]都对初等矩阵的性质做了相关的介绍.本文首先对初等矩阵的相关性质做一简单综述;然后,鉴于对称矩阵与反对称矩阵间的某种潜在联系,在FlipＧ矩阵[１２Ｇ１４]的基础上,定义一种新的矩阵,即反初等矩阵;其次,给出了反初等矩阵的相关性质以及与初等矩阵的关系;最后,给出了反初等矩阵在矩阵行列式计算方面的一些初等应用.该研究可进一步丰富矩阵理论的相关内容,为次对称矩阵性质及其相关理论研究提供参考.
１ 初等矩阵定义及性质
假定全文所出现的矩阵都是n×n 阶方阵,E 表示单位矩阵.对于任给的矩阵A 和B,A? 表示A 的伴随矩阵,R(A)表示A 的秩,A∽B 表示A 相似于B.下面给出初等矩阵的定义及其性质.
定义１[１１] 由单位矩阵E 经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵有下面三种基本形式:
a)E(i,j),即将E 中的第i,j 两行(列)交换所得到的矩阵;
b)E(i(k)),即将E 中的第i 行(列)乘以非零常数k 所得到的矩阵;
c)E(i,j(k)),即将E 中的第i 行加上第j 行的k 倍(第j 列加上第i 列的k 倍)所得到的矩阵.根据初等矩阵的定义,易得初等矩阵的一些基本性质:
基于上述反初等矩阵的定义和性质４,类似于初等矩阵的性质,本文可得反初等矩阵的相关性质及其与初等矩阵的关系如下.
３ 计算应用
本文给出FlipＧ矩阵和反初等矩阵在一些特殊矩阵行列式计算方面的应用.
但是对于形如
４ 结 论
对称矩阵与反对称矩阵都具有丰富的理论知识和应用背景,但对两者之间关系的研究甚少.本文在FlipＧ矩阵的基础上,定义了一种新的矩阵,即反初等矩阵.研究了反初等矩阵的相关性质,及其与初等矩阵的关系.同时也给出了反初等矩阵在矩阵行列式计算等方面的一些初等应用.该研究成果对进一步研究对称矩阵与反对称矩阵的相关理论性质及其应用具有潜在的重要价值.
矩阵论文参考资料：
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