原创《数形结合在初中数学教学中的应用》
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【摘 要】华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微.”这两句直白浅显的话语,一针见血地指出了在数学知识体系中“数”与“形”的关系,即“数”辅助“形”,“形”解释“数”,数与形的结合不仅让“数”的解释更加直观,也能够让形的表达更加准确.基于此,教师需要结合初中数学教学实际,对数形结合的应用做出相应的探究.
【关键词】以形助数；以数辅形；数形结合
初中阶段是学生思维培养的关键时期,在数学问题中渗透数形结合思想,让初中生打破知识学习过程中的隔阂,在“数”与“形”之间建立沟通与联系,并达到由数思形、见形思数、数形结合的目的.从目前初中数学教学设计来看,虽然教材编排中将数形结合贯彻其中,但应如何把握好数形结合的分寸,如何引导学生自主思考数形结合的有效途径呢？
一、以形助数,简化解题过程
探究数量关系是数学体系中的主要内容,严密的逻辑、抽象的含义往往是阻碍学生理解问题的“绊脚石”.因此,在数形结合理念的指导下,教师应利用恰当的几何图形,对抽象的数量关系进行“翻译”,简化解题过程,进而建构数学知识体系,以帮助学生消化知识.在初中阶段,需要以形助数的知识内容主要包括：
1．有理数知识
在有理数这一章节中引入了“数轴”,在数轴上标出有理数的位置则是实现数形转化最直观的案例.因此,在有理数的讲解中,教师应结合“数轴”知识,帮助学生了解图解方法.
例如题目：在数轴上,A点和B点所表示的数分别为-2和1,若使A点表示的数是B点表示的数的3倍,应将A点如何移动.在题目讲解中,教师可以指导学生直接画出数轴,在数轴中标出A、B两点,根据条件直接观察数轴,可知需要将A点向右移动5个单位,即落在3的位置,保证“A点表示的数是B点表示数的3倍”.
2．不等式知识
初中阶段,学生初次接触不等式,相较于之前学过的确定的方程解,不等式解的范围常常让学生迷惑,这时,教师就可以利用数轴将不等式解的范围画出来,从而降低知识的理解难度.
3．方程组知识
在初中阶段,二元一次方程组是学生探究数量关系的重要手段,在数形结合的指导下,教师可以指导学生将方程组中的每一个方程转换成函数,并绘制一次函数图像,并根据两条函数图像的位置关系确定解的个数及其位置关系.
4．函数知识
函数问题作为数学体系中最重要,也是最关键的存在,其解题过程必须要依靠图形,换句话说,数形结合在函数问题中得到了最淋漓尽致的体现.只有借助图形的辅助,函数解析式的表达含义才将更趋完整.基于此,在初中数学课堂教学中,教师应结合函数知识对数形结合理念进行系统渗透.
例如题目：某酒店有客房9 0间,当每间客房定价为1 4 0元时,客房能够住满,客房每涨价1 0元,就会有5间客房空出来,而居住的客房,酒店每天要支付各种费用总计6 0元,请问,酒店利润与客房涨价之间呈什么关系.在解析这一问题的过程中,教师首先要指导学生根据经验判断二次函数的基本特征,然后利用题目中的数量关系找到两个坐标点,并代入解析函数.
二、数形结合,深化知识理解
数与形之间对立又统一的关系,能够启发学生观察数与式的特征,并在分析数形转换路径的过程中,将抽象知识升华为具体可见的数量关系或图形状态,从而实现数字化或图形化的理解过程,让学生进一步理解以形助数、以数辅形的途径,以达到数与形的真正融合与运用.
随着教学改革的推进,一些开放性题目也会越来越多,传统按部就班的解题方法,会让原本充满趣味性和启发性的问题变得刻板、僵化,从而失去了拓宽视野、训练思维的作用与效果.因此,在初中数学教学中,教师应渗透数形结合理念,对这类开放性题目进行适当的引入,以指导学生运用数形结合的理念进行体验、探索,进而在图形中理解数字,在数字中认识图形,以促使知识的数与形结合起来.
三、以数辅形,精确解题方法
在数形结合中,许多教师注重的是“以形助数”,而忽视了以数辅形,其实,在解决几何问题的过程中,教师利用数量关系能够更加准确、直接地归纳几何图形的特征,并探索图形与数量之间的联系与规律,让图形信息用代数语言表达出来,以突显数与形之间的转化与支持.在初中数学教学中,以数辅形的教学案例主要体现在以下几个方面：
1．在数与式规律探究中的运用
在数学学习中,经常会出现一些给出基本的图形关系,探究某一系列图形变化规律的问题,在解题中,学生不可能将每一个图形画出来,而这时就可以利用“数”的辅助,对图形所代表的式子进行精确,并根据其中的逻辑关系探究规律.
例如：一组有规律的图案,它们由黑白两种颜色的菱形组成,第1个图案中黑色菱形的四个边上分别延伸出4个白色菱形；第2个图案中2个黑色菱形衍生出7个白色菱形；第3个图案中3个黑色菱形衍生出1 0个白色菱形……依此规律,第n个图案中白色菱形的个数为（用含n的代数式表示）.在找规律的过程中,教师可以引导学生对不同的图形标上序号1,2,3．……n,而白色菱形的个数则为4,4+3,4+3+3,……这样到第n个就可以总结出规律：4+3 (n-1),通过这样的图形固定累加,学生能够利用代数式将其中的规律表达出来,从而精确了图形解析效果.
2．在平面几何知识中的运用
初中阶段的平面几何问题除了单纯的证明类之外,还包括求面积、长度等问题,而这些问题的精准解决,则必须要在“数”的辅助下完成,以达到“以数辅形”的目的.只有这样,在数字的辅助下,对几何图形的分析才能更加准确.
总之,初中阶段的数学教学应该注重对数学思想的渗透.数形结合是最重要的数学思想,在教学指导中,教师一方面要深入分析数形关系,为学生梳理数形结合知识,并深化理念渗透,提高知识理解能力；另一方面还应该结合具体问题,实现以形助数、以数辅形、数形结合的过程,让学生在具体问题中咀嚼、反思数形结合思想,从而迅速提升数学思维.
数学教学论文参考资料：
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