原创《金融衍生品定价的文献综述》
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一、对衍生品波动刻画的研究综述
1．分数Brown运动的研究综述.法国数学家Louis Bachelier在其博士论文一投机理论( Th 6 0rie desp 6 culation)中首次用Brown运动来描述股票的变化,并给出了欧式买权的定价公式.英国著名水文学家Hurst是研究分数Brown运动的先驱,他在观察尼罗河水的规律过程中提出了分数Brown运动.随着金融市场的发展,大量实证研究表明：B-S模型的初始假定与实际情形存在差异；规模效应,季节效应,尖峰厚尾等越来越多的现象已经无法用标准Brown运动驱动的模型进行解释；并且股票收益率的波动具有显著的记忆性.由分数Brown运动本身具有的特性可以看出,它能够更好地描述金融市场资产的演变过程,由此大量学者开始利用分数Brown运动描述标的资产的波动行为.据此1968年BenoitMandelbrot和Van Ness布朗运动模型引入金融市场：它具有自相似性、非平稳性两个重要性质,反应了许多自然现象和社会现象的内在特性,分数布朗运动有时也称为分形布朗运动、有偏的随机游走、分形时间序列、分形维纳过程等.接着,1994年,有人实证表明用分数布朗运动来模拟股票的变化过程更加贴合实际.
虽然分数Brown已经从理论和实际两个层面都证明其对金融市场的描述更具有说服力,但是分数布朗运动不是半鞅且不具备马氏性,故无法用标准的布朗运动随机积分理论,即无法用传统的数学工具来处理.
面对数学上工具的缺乏,于是有学者开始相关数学工具的研究.例如,1995年Lin建立了分数路径依赖型积分,但随后被Rogers照此积分理论建立的金融市场模型存在套利机会,似乎说明不能用分数布朗运动来描述标的资产的过程.可喜的是, Duncan, Hu Yaozhong和Ksendal-种分数布朗运动的随机积分理论：Wick-Ito型随机积分并推导出该积分的公式.而后,在分数Brown运动的基础上又发展出广义分数Brown运动.在最近的外文文献大多就是用的混合分数Brown运动和广义分数Brown运动.
为了弥补分数Brown运动的缺陷,Thao在2006年,针对分数Brown运动市场的特殊性质,对分数Brown运动驱动的随机微分方程进行了某种近似,将基于分数Brown运动的、不是鞅的资产过程用一个半鞅过程逼近.这种逼近为分数Brown运动市场研究找到了一个方向．因此半鞅过程逼近的分数Brown运动模型的金融资产衍生品的定价有了新的发展,Thao利用半鞅过程逼近的分数Brown运动模型讨论了Hurst指数属于(1,1/2)的分数Brown运动,且证明了此时基于分数Brown运动模型讨论了Hurst指数属于(1,1/2)的分数Brown运动,且证明了此时基于分数Brown运动市场是无存在套利机会的.
为了进一步让混合分数Brown运动更加精确,此外,为了捕捉跳跃或不连续,且考虑标的资产的长期记忆性,于是,有学者将混合分数Brown运动和泊松跳过程集合起来.例如,2014年F．Shokrollahi和A．Kihcman的论文中就包含跳跃过程的混合分数Browman运动,并写出了在JMFBM条件下外币期权的定价显式公式,并进行了相关模拟.此外,模拟实验结果表明,JMFBM模型比其他模型的模拟效果都好.在结论中,由于混合分数B rownian运动是一个合适的数学模型与随机过程和深刻的跳跃是在金融市场不可否认的成分,跳混合分数Brown模型将定价的数量更合适的方法.
20 1 6年Wenting Chen, BowenYan, Guanghua Lian和Ying Zhang研究生CMFBM（广义混合分数Brown运动generalized mixed fractional Brownmotion)下美式期权的定价.通过组合分析和Wick-Ito公式的应用,他们得到了在GMFBM驱动下关于美式期权的偏微分方程( PDE).
2．跳过程的研究综述.值得一提的是,上述刻画方法都没有涉及跳过程,而实际中,金融衍生品领域是存在许多突发冲击的.现代金融理论的几乎每一个方面,从估值和投资组合选择到期权定价和公司金融,以及数学金融领域的不断扩大,严重依赖于概率的形式描述证券或其他潜在价值驱动因素的动态分布.虽然几何布朗运动( GBM)曾作为一个方便的范例,在一段时间作为对GBM的经验证据积累,但1976年由Merton提出跳跃一扩散( AJD)模型,获得了比GBM广泛的认可主要是因为它被证明是一致的资产回报率的经验特征（高模式和过剩、峰度和偏度）.此外,大量的实证证据表明,期权定价公式为基础的在和表示具有更好的定价精度.那就是,AJD模型更好的解释的波动“微笑”和“斜”.鉴于这一转变,AJD模型现在作为大多数动态资产组合选择和资产估值模型（2003年Duffie等人提出）的首选.
仿射跳跃一扩散( AJD)的普及是由于它的结构上的灵活性,故能捕捉金融风险过程的重要特征,在计算标准和技术性期权与债券定价的扩展中,能变换与计量经济估计.此外,经验证据表明这些模型提供了优越的数据拟合.仿射跳跃一扩散过程由3个元素组成：漂移,Brownian运动代表一正常的变化,和跳跃过程一描述极端的变动.
二、美式期权各数值方法研究综述
1．资产价值刻画的研究综述.2002年刘韶跃,杨向群在标的资产或基础股票的服从几何分数布朗运动模型假设下,分别在无风险利率r和股价波动率e为常数和为时间t的非随机函数的情况下,求出了有红利支付的欧式期权的定价公式.之后,刘韶跃,杨向群在标的资产服从几何分数布朗运动模型假设下,推导了几种奇异期权的定价公式.
2007年侯迎春更注重我国实际的市场情况.基于分数Brown假设,根据我国权证市场的特点提出定价误差的消除技术,构造了修正模型误差的回归模型,选取适当的变量,合理预测权证定价的模型误差,提高权证的定价水平.另外,将物质商品的由市场的供需决定理论引入权证定价理论,认为权证也应当由市场的供需决定.换手率是市场供需的最好信号,同时也反映了市场炒作的热度,将该因素引入定价误差修正值的计算中是一个突破.
随后,学者由分数Brown运动的研究转向混合分数Brown的研究.2008年余征和闫理坦基于混合分数布朗运动为金融市场驱动模型的情况下,应用拟条件期望给出了完备的混合型Black-Scholes市场下欧式看涨期权的定价公式.
2009年杜文歌和刘小茂将跳引入分数Brown运动.假设股本权证标的资产服从分数布朗运动过程；并考虑到市场存在不确定因素而引起的巨大的波动,在模型中又引入了一个跳过程.首先得出权证定价的一般公式,最后在考虑股本权证行权后产生的稀释效应,得出稀释调整后的股本权证定价公式,并将其延伸到支付红利情况下.
2010年肖炜麟更深一步将混合分数Brown运动的研究深入到了对其模型参数的估计.面对分数布朗运动和混合分数布朗运动刻画权证标的资产变化的行为模式,采用经典的极大似然法,在大样本条件下（观察间隔固定且观察点足够多）,分别对混合布朗运动、几何分数布朗运动、几何混合分数布朗运动和分数Ornstein-Uhlenbeck的参数进行了有效估计.
学者们逐渐将分数Brown的研究从简单的欧式期权转向其他奇异期权和美式期权.例如,2013年成佩基于分数布朗运动建立了汇率满足的随机微分方程,利用分形积分理论,在风险中性定价原理下得到了新模型下的外汇期权定价公式.建立的新模型中假设本国和外国的无风险利率均是时间的函数,使得新模型更贴近现实.另外,还利用修正的分析方法对我国外汇市场做了研究,结果表明我国外汇市场存在很明显的分形结构.最后,通过实证对新模型和传统的外汇期权模型做了比较,得到了分数布朗运动下的外汇期权定价.2014年夏雪丽也是研究了奇异期权的定价问题,具体对在分数Brown运动条件下对亚式期权定价进行了研究,并采用无套利利率模型,即在假设利率满足Hull-White（单因子）利率模型的条件下,对具有固定执行和浮动执行的两类几何平均亚式期权进行了定价研究,推导出了相应的定价公式和看跌看涨平价关系式.
在大多模型中认为利率是恒定的,这与事实不符合,为此2016年金宇寰假设股价服从由分数Brown运动及跳过程驱动的随机微分方程,利率服从Vasicek模型,建立了双分数跳一扩散环境下的金融市场数学模型,用保险精算方法和双分数Brown运动下的随机分析知识,得到了可转换债券定价公式.其模型中,不仅标的资产由分数Brown运动驱动,利率也由分数Brown运动驱动.
2．衍生品数值计算研究综述.近几年,国内对有关各类期权的数值计算的研究特别重视.从各个方面提高了计算精度和计算速度.
2013年宋海明系统地分析了数值求解美式期权和回望期权的本质困难,并针对求解难点,利用front-fixing变换,将求解区域由一个曲边区域转化为半无穷规则区域.然后利用完全匹配层( PML)技巧进行截断,最后利用有限体积法对简化后的问题进行离散,采用Newton迭代法交替迭代同时得到相关期权的和最优实施边界.整个显著地降低了计算量及减小了数值反射,提高了计算精度.
2014年熊炳忠在介绍对偶变量法、控制变量法、重要抽样技术以及分层抽样法的基本原理基础上,将这四种精度提高技术应用于标准欧式期权的模拟定价,基于R软件平台给出它们的实现程序,对比这些方法与普通蒙特卡洛模拟方法所给出期权定价的精度提高效果,结果表明它们都有较好的提高精度效果,尤其是分层抽样法,精度可以达到一般蒙特卡洛模拟精度的5倍之多.
2016年甘小艇,阳莺和刘胜考虑有限元方法结合模方法定价美式期权.基于线性有限元空间,构造了B-S方程的向后欧拉和Crank-Nicolson两种全离散有限元格式.采用模超松弛迭代方法求解有限元离散得到的线性互补问题,并建立H+ -离散矩阵下模超松弛迭代( MSOR)方法的收敛定理.数值实验验证了方法的有效性,也说明MSOR方法的计算效率优于投影超松弛迭代( PSOR)方法.
（作者单位：新疆财经大学）
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