原创《由数学复习课中的奇思妙解谈数学素养的培养》
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张 杰
（张家港市第二中学,江苏 苏州 215611）
【摘 要】数学素养是每一个人应必备的素养.而学生思维能力的培养是数学素养培养的一个重要方面,笔者通过在教学活动中听到的教学片断,对在复习课中如何进行数学素养——思维能力的培养进行了研究和探讨.
【关键词】素养；思维培养；复习课
在《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》中,第一次使用了“数学素养”一词,成为全国中学数学教师讨论的热门话题之一,也是本次课程改革中最重要的核心.教师在课堂教学中如何培养学生的数学素养,是摆在我们广大教师面前的一个重要课题,也是我们学校教研活动的重要内容.笔者在近期的教研活动中听了一些初三复习课,其中有两个课堂教学片段给我们很大启发,下面,笔者就这两个片段来谈谈学生数学素养中数学思维的培养问题.
课堂教学片段一：
问题1:如图,在平面直角坐标系中直线y等于x-2与y轴相交于点A,与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m,2）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y等于x-2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C,且△ABC的面积为18,求平移后的直线解析式.
在问题（2）的解决中,授课教师没有直接让学生进行回答,而是让学生先独立思考两分钟,然后分组讨论,比一比,哪一组学生给出的方法好,学生进行思考和热烈地讨论,给出好多种方法.
方法一：如图1设平移后直线解析式为y等于x+b,点C（a,a+b）,过点C作CD⊥y轴,过点B作BE⊥y轴,将点C坐标代入反比例函数解析式中得：a（a+b）等于8①,由于,由①②联立,解得：b等于7,得到平移后直线解析式为y等于x+7.这是我们常说的补形法解关于面积的问题.
但有学生发现解这个方程组比较难解,可以利用点C在反比例函数y等于8/x的图象上,设C（a,8/a）,利用上面面积之间的等量关系列出关于a的方程来,计算简便了,准确率也提高了.
方法二：有学生发现可以分割法表示出△ABC面积,如图2过点C作出CF⊥x轴交直线AB于点F,则得到S△ABC等于S△ACF+S△BCF等于18,从而求得到出C点坐标,再同方法一解之.学生们发现这样分割表示△ABC面积更简单,△ABC面积的值由CF长决定.
方法三：如图3学生发现直线y等于x-2与x轴夹角是45°,易求出利用三角形面积公式可求出AB边上的高,再求出AH的长度,从而得到H（0,7）,所求直线为y等于x+7.但是这样做的同学又发现了一个问题,有学生把直线y等于x-2直接向上平移后得到,为什么出现这样的错误呢？经过学生讨论发现,学生对直线平移的方向和距离的概念理解错误,直线平移后点A的对应点是点H,而不是点G,所以直线平移的距离是AH等于9,所以平移后的直线应该是y等于x-2+9即y等于x+7.此法也是不错的方法,利用直线y等于x-2的特殊位置,找到解题的突破口,并且让大家辨明了平移距离和平移方向的概念.
方法四：如图4有学生发现△ABC的特点是三条边都是倾斜的,如何表示它的面积呢？学生想到转化成和它相等的三角形面积问题.S△ABH等于S△ABC等于18,由于点B（4,2）,所以△ABH的边AH上的高是4,从而求出AH等于9来,从而确定平移后的直线解析式.这一方法学生都意识到了转化思想的魅力,间接求解的好处.
当然经过学生一起努力探讨了只要求出平移后直线上的任意一点的坐标即可,所以方法还是有的.由于上课时间基本结束,所以教师就把这个问题的进一步探究留给学生课后讨论.
听后反思：
本节课教师虽然利用较长时间让学生对这个问题进行了探讨,看似本节课题量不多,但是这节课的收获远比粗略讲几个问题要好得多.这道题引起了学生们的关注和思考,对于求图形面积的方法问题有了深入的理解体会,激发了学生的学习兴趣.本节课教师采用的是以学生“发现式”学习的教学模式,经过学生探索研究使方程思想,数形结合思想,特殊转化的思想方法得到淋漓尽致的体现.教师遵循了学生能自己思考的问题就放手让学生思考,把教与学活动中的“自由”还给学生,让学生自主学习,感悟其中的数学思想和方法.教师引导学生自己发现问题,经过分析自己解决问题,这样真正释放出学生的思维潜能.
平时很多情况下教师一味地追求完成课堂预设的任务,提高所谓的课堂效率.却忽略了学生自主生成,忽视了学生多种思路的发现,使学生思维得不到优化,甚至使学生的思维处于僵化不前的状态.教师讲,学生听,只接受,不思考,思维障碍得不到解决.另外往往一个问题有着不同的解法,而教师在学生出现与自己预设解法出现偏差时,教师一味地否定学生的做法,要学生跟着老师的思路走,教师虽然感觉教学顺畅了,节省时间了,但无论教师怎么讲,总是感到解题教学效率很低.这是因为学生的思维没有得到发展和提高.一题多解可以激发学生的探究,在比较对比中选择适合自己的方法.教师要尊重学生,相信学生,他们往往也有“惊喜”的发现.尤其是在复习课中,一题多解可以开拓学生的思路,优化方法,创造性思维得到培养.数学教学中强调:数学素养培养需要教师重视知识传授的同时,引导学生经历探究过程,体会数学方法,感悟数学思想,这样才能使数学思维得到提升.
课堂教学片段二：
问题2：如图有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P：
（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能,请你求出这时AP的长；若不能,请说明理由.
（2）再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE等于2cm？若能,请你求出这时AP的长；若不能,请你说明理由.
本题一出现,如图1就有学生很快说出利用“K”字型,作为提炼三角形相似的基本图形,从而通过△ABP∽△DPC,或通过△ABP∽△PCB,得到关于AD的比例式,可以求出AP的长.此法不错,大部分学生可以理解和接受.
此时,老师没有结束此题的探究,而是继续让学生进行探究,是否有其他方法,并让学生进行了小组讨论.
有学生给出另一种方法：如图3过点P作PE⊥BC于点E,利用射影定理得到PE2等于BE·EC等于AP·PD,从而求出AP的长,此法简洁明了.
更有爱思考的学生给出如下的方法：如图4以BC的中点O为圆心,以OB长为半径画圆与AD有两个交点,此时的点P1,P2,正是我们前面求出的两个解.利用垂径定理和勾股定理求出P1E长,再求出AP1,AP2,的长,真是巧妙的做法,令人惊叹也令人折服,不得不相信我们学生的思维的深度和广度.
通过这个方法的探究,教师引导学生发现上面所作的圆不一定与边AD有两个交点,也可能只有一个或没有,所以AD与AB有着一定的关系时才会使三角板的两直角边同时经过点B和点C.这时学生的研究热情很高涨,易得到当AD≥2AB时,PH边过点B,同时PF边过点C.进一步可以求出AP与边AD,AB的关系.
那么对于第（2）的解法完全可以转化成第（1）题的方法,三种方法都可以用.这真所谓解一题可以解一串这样的题目,并且第三种方法验证了前面两种方法中解的存在问题.本题中很好地体现了代数方法解决几何问题的思想,感受“形”与“数”的对立与统一,再一次验证了数形结合思想方法在研究数学问题中的作用.
让我们深深感觉到：如果教师不给学生发现和探索的机会,就使学生失去了思维训练提升的可能,也失去了创新求异思维的能力培养.
听后反思：
1.数学素养中学生思维的培养需要教师研究学情,精选题目.
教是要建立在学生的学习水平和学习需要之上的,务必要“懂学生”,关注学生.教师在课前要精选题目,对题目进行深入研究,不搞“题海战术”.数学思维不是解或者死讲几个数学题就能够得到培养的,而是应该通过深入研究典型题,有效巩固基础知识,提高方法技能,开拓学生思维.所以要培养学生思维,特别是培养学生思维最突出的复习课一定要精选题目.
2.数学素养中学生思维的培养必须重视学生对知识的自主建构,鼓励学生多种方法多种思路,优化解题方法.
教数学应该渗透数学的主要思想,丰富数学的基本活动经验,经历数学研究的一般方法.在复习课中,教师可以通过一题多解,鼓励学生从多角度,多方位来探索同一个问题,不仅开拓了学生的思路,同时提高了学生解决问题的能力和技巧,也最大限度的挖掘同一问题所涉及的知识点和方法,真正拓宽了学生的思维深度.教师应将课堂成为解决问题的阵地,而不是将学生看成做题的机器,教师要为学生提供机会表达,提供条件培养数学思维.
3.数学素养中学生思维的培养还要引导学生进行解题的反思和方法策略的归纳总结.
教学要围绕学生的数学思考展开,提升教学的层次,教师要帮助学生学会提出问题、探寻方法、建构知识、解决问题的方法,及时总结反思,在比较中找到适合自己的“好方法”,积累经验,让学生做到触类旁通,举一反三,真正做到“解一题,懂一类”的效果.从而提高数学思考与问题解决的能力.
【参考文献】
[1]马云鹏,张春莉.数学教育评价[M].北京高等教育出版社,2003.199
[2]华志远.教学反思：从经验走向反思智慧[J].无锡教育,2005.9
数学素养论文参考资料：
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