原创《韦恩图的弊端》
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韦恩图或译Venn图、温氏图、维恩图、范氏图,是在所谓的集合论（或者类的理论）数学分支中,在不太严格的意义下用以表示集合（或类）的一种草图.韦恩图作为一种数学工具,因其能将抽象的集合关系变得清晰具体而被广泛应用,但它也有一些弊端.下面我们从一道1993年的高中联赛题目出发来进行探究.
例题：集合A,B 的并集A∪B等于｛a1,a2,a3｝,当A≠B 时,（A,B）与（B,A）可视为不同的对,则这样的（A,B）对有多少个？（1993年全国高中数学联赛）
对于这道题目,我们有三种解决方法：
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法一：由A∪B等于｛a1,a2,a3｝,我们先通过较为简单明了的韦恩图来证明.通过图示,此时题目等价为将a1,a2,a3三个元素放到三个区域中的放法,显然每个元素有三种放法,所以（A,B）对的对数等于3×3×3等于27种.这种方法通俗易懂,直观明了.
法二：换个角度来考虑,每个元素对于每个集合来记都有2种选择（即为存在或不存在）.例如：a1可以存在于A或不存在于A,可以存在于B或不存在于B,但它不能同时选择不存在,否则的话,A∪B中就没有a1元素了.所以a1有（2×2-1）种放法,a2,a3也是如此,由分步计数原理,有集合对（A,B）这对元素的对数等于（2×2-1）×3等于27.
法三：根据集合A 的情况进行分类,利用分类加法计数原理.
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由上述可知共有27种解法.对于这道题目,我们利用了韦恩图来解答,但是如果集合个数的元素增加了,这种利用韦恩图的方法还会适用吗？下面我们由此来看一个题目的推广：
A1∪A2∪…∪An等于｛a1,a2,…ak｝,则像（A1,A2…An）这样的排列有多少个？
注意：在上述题目中,由于元素个数与集合个数较多,若按照法三来进行求解,显然不太现实.所以,例题中的法三并不适用于推广题目这种情况.下面我们按照上题的两种解法,做出了推广题的两种解法：
法一：我们可以将每个集合看作一个圆,那么这道题目就等价于先将A1～An这n个圆分出最多的区域,再将a1,a2…ak这k个元素往这些区域中放的方法种数.
假设已存在m个圆,要想分出更多的区域,那么每增加一个圆,这个圆都要与之前的m个圆都有两个交点,我们设i个圆分成的区域个数为Bi,所以Bm+1等于Bm+2m.因为B1等于2,所以Bn等于2+1×2+…+2×(n-1)等于2+n×(n-1).
所以n个圆可分出2+n×(n-1)个区域,但元素不能放在圆外,所以我们去掉圆外那个区域,则每个元素都有1+n×(n-1)种选择,所以像（A1,A2…An）这样的排列对数有[1+n×(n-1)]k个.
法二：ai 对Aj 有两种选择（存在或不存在）,但它不能同时选择不存在,所以ai 有(2n-1)种情况,所以k 个元素就有(2n-1)k种.
然而,我们发现,当n大于等于4时,（1+n×(n-1))k就不等于(2n-1)k了,为什么会出现这种情况呢？法一与法二哪种解存在错误呢？
下面我们对n等于4时进行探究：
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我们做出了n等于4时的韦恩图.
发现,图中分出的区域竟然不存在A1与A4的单独交集.例如其中的区域X,它也存在于集合A2中,然而对于一个元素,它可以只存在于A1A4而不存在于A2中,这里就产生了矛盾.
所以用法一计算时,就少了一些出现单独交集的情况,这也就是韦恩图的弊端所在：会有漏掉的情况,导致计算的失误.
综合以上对韦恩图弊端的叙述,大家一定要明白,每种解题方法都可能存在它的弊端或不实用的情况,所以解题时要通过多方面的思考,不要只局限于一种思想.
【参考文献】
[1]庞帮艳,于晓要. 韦恩图在概率论中的妙用[J].漯河职业技术学院学报,2010.9(05):60-61
[2]辜纯健.韦恩图在概率计算中的应用[J].湖南环境生物职业技术学院学报,2004(04):369-37
韦恩图的弊端论文参考资料：
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