原创《数学中不等式的解法》
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数学中不等式的解法研究
钟汉峰 四川省成都市第七中学林荫校区
摘 要：数学是我国的重要学科,贯穿到我国基础教育的各个方面,不等式作为数学中重要的一节,它贯穿了几何代数和函数,在多个方面起到重要作用,其中一元二次不等式是一个典型代表.本文就数学中不等式的解法进行了研究,主要介绍了对于不含参数的一元二次不等式我们可以使用因式分解或配方法,对于含参的一元二次不等式我们可以采用分类讨论、参变分离和函数结合等多种方法解决.一方面对于不等式不同解法的掌握可以体现学生的代数分析能力和数学综合能力,另一方面可以提高学生的数学分析能力和数学感悟能力.
关键词：不等式；解法研究；含参数不等式
中图分类号：O122.3文献识别码：A文章编号：1001-828X(2017)031-0-01
中国是数学大国,但是我国的数学教育在很长一段时间内都是方法单一的,并不利于数学这门课程的发展,数学史的变迁蕴藏着很多的思想和方法,而不等式的学习就是数学史发展历程中的重要组成部分,同时不等式的学习是数学这门课上的重要难点,也是中学数学中的重要知识点,不等式刻画了数量之间不相等的关系,在生活中的很多领域中都有重要的应用,不等式体现在我们生活的方方面面,本文详细介绍了一元二次不等式含参数的不等式两种不同的不等式的重要解法.
一、一元二次不等式的解法
(一)因式分解一元二次不等式
因式分解法是我们在解决一元二次方程的时候最常用的方法,就是把这个一元二次方程转换为两个一元一次方程的乘积,这两个一元一次方程越化成简单的形式就越好解答,一元二次不等式含有一个未知数并且这个未知数的最高次数为2,这个二次方就是解题的拦路虎.
如果一道一元二次不等式中符合当把这个不等式转换成等式的时候有两个数值不相等的根,那么就可以把原不等式转换成两个一元一次的不等式,解出这两个方程的答案,交集就是我们要求的一元二次不等式的答案.
例题:求不等式的解集
根据上述我们提到的用因式分解的方法解决一元二次方程的思路发现,可以得出如下的解题思路,因为2乘以x的平方减去x减去1大于0,可以把这个一元二次不等式拆分成两个一元一次不等式的乘积,2乘以x的平方减去x减去1大于0就可以拆分成括号里x减去1和2乘以x在加上1的乘积,解出x大于1并且x小于负的二分之一就是这道题的解集,这比我们去盲目的去消除原题中的二次方要简单的多.
(二)配方法解一元二次不等式
利用配方法解决一元二次不等式可以快速的看出题目中的隐藏条件,提高学生在做题中的效率.
例题：负x的平方减2x小于等于15
这类题要先将实数移到一边,将为指数的符号换成正,记得不等号要变,然后和解一元二次方程组一样,解出根.用串根法,得出解集.
可以看出x等于R即解集为R
二、含参数不等式的解法
(一)分类讨论法
分类讨论的方法在很多数学问题的解决中都应用到,同时分类讨论法也是含参数不等式的解法中最常用的一种,分类讨论这种方法培养的是学生的逻辑性,逻辑性和严密性是学习数学的过程中,老师要培养学生达到的基本的特性,体现了一种与时俱进的数学思维,分类讨论方法的运用,参数的选择会不会重复,一定要选择最简单的方法来解题,都体现在分类讨论中,这种方法看似简单,没有很大的挑战性,但是对学生逻辑能力的锻炼、综合能力的提高和培养学生的探索精神以及他们的概括能力都是至关重要的.
(二)分离参数法
不等式的问题中也包括恒成立的问题,分离参数法主要被应用于解决不等式的恒成立问题,因为在含有参数的不等式中,至少含有两个未知数,分离参数就是把参数和其他未知的数值分到不等式的两边,然后再求出函数值,得到这个问题的答案,很多学生在学习分离参数法的初期,由于掌握知识不熟练,经常的把这种方法与分类讨论法混淆,其实,它们之间有根本的区别,是截然不同的两种数学方法.
例题： 设不等式x2+(m-4)x-2m+4＞0对任意的m∈[-1,1]恒成立,求x的取值范围.
分析：我们在做题的时候常常会因为自己的思维定式,把这道题当成了由于常见的x的二次不等式,其实抓住题中“对任意的m∈[-1,1]恒成立”,应将m看成主元,而x是参数.
解：问题可转化为m(x-2)+x2-4x+4＞0对任意的m∈[-1,1]恒成立.令f(m)等于m(x-2)+x2-4x+4,m∈[-1,1],由于f(m)的图像为一条线段,故f(m)＞0对任意的m∈[-1,1]恒成立,利用分离参数法来解决不等式的恒成立问题就简单多了.
(三)构造函数法
含参数不等式中的解题难点就是参数变量的存在,构造函数法是解决含参不等式的一项重要的方法,把含参数不等式中参数变量根据构造函数法的思想转换成一次函数或者二次函数的方法,利用函数的单调性和奇偶性的特征来寻找解题思路.构造函数法可以让不等式的恒成立问题找到快速的解决办法.
(四)函数值域法
函数值域法是先确定未知参数的数值范围,在题目中已经给出的区间上的函数值域的范围来推定,对参数的数值范围推进后,再解决不等式就会省去很多的步骤也避免很多的陷阱.由函数值域的范围推出未知参数的范围,缩小了我们要求的答案的取值范围,简化了参数和做题步骤.
在数学学习的过程中,有很多的解题思路和解题的方法,这都是学生数学能力中的一部分,同样的不等式,用不同的思维来思考就能得到不同的解决方法,但是正确答案只有一个,多种数学方法的学习和运用,在具体的做题的过程中,学生也能突破自己得到更多的感悟,获得分析数学问题和解决数学问题的能力.
参考文献：
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[2]李晓珊.不等式的解法[J].数学教学通讯,2012(32).
[3]马汉敏.高中数学不等式解法探讨[J].中学教学参考,2014(8).
[4]胡杨.不等式解法的分析和思考[J].高中数理化,2015(8).
不等式论文参考资料：
本文评论，上述文章是适合不知如何写不等式的解法和数学和研究方面的不等式专业大学硕士和本科毕业论文以及关于不等式论文开题报告范文和相关职称论文写作参考文献资料。
