原创《复赋范线性空间上的（I,B）-近似保正交映射》
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摘 要：在复赋范线性空间中,给出了(I,B)-近似保正交映射的定义,运用算子论方法,证明了非零(I,B)-近似保正交线性映射有界并且是下有界的,并证明了在一定条件下,非零(I,B)-近似保正交线性映射是近似保B-正交线性映射.
关键词：正交；近似B-正交；(I,B)-近似保正交映射
中图分类号：O177.1
文献标识码：A
文章编号：1674-0033（2018）04-0001-03
(I,B)- Approximate Orthogonality Preserving Mappings in Complex Normed Linear Spaces
KONG Liang
(School of Mathematics and Computer Application,Shangluo University, Shangluo 726000, Shaanxi)
Abstract:In complex normed linear spaces,the definition of（Ｉ,Ｂ）－approximate orthogonality preserving mapping is given. Using some methods of operator,it´s proved that the nonzero （Ｉ,Ｂ）－approximate orthogonality preserving linear mapping is bounded, and bounded below. Next,it is proved that the nonzero （Ｉ,Ｂ）－approximate orthogonality preserving linear mapping is an approximate B-orthogonality preserving mapping under certain condition.
Key words:orthogonality; approximate B-orthogonality; （Ｉ,Ｂ）－approximate orthogonality preserving mapping
为了研究赋范空间的几何性质,各种正交性和近似正交性定义被相继引入和研究[1-4],其中B-正交即Birkhoff正交受到了许多学者的关注 [5-8].在此基础上,一些学者研究保持各种正交性和近似正交性映射的性质.文献[9-12]在内积空间给出了近似保正交映射的性质,文献[13-14]在实赋范空间中给出了近似保等腰正交线性映射的刻画,文献[15-17]在实赋范空间中分别研究了保ρ-正交、保ρ*-正交和近似保等分线正交线性映射,文献[18]在实赋范线性空间中引入了(I, ρ)-近似保正交映射的概念并证明了非零(I, ρ)-近似保正交线性映射有界并且是下有界的.本文在复赋范线性空间中,给出近似（I,B）-保正交映射的定义,证明非零（I,B）-近似保正交线性映射有界并且是下有界的,证明在一定条件下,非零（I,B）-近似保正交线性映射是近似保B-正交线性映射.
1 预备知识
X和Y在本文中均表示复赋范线性空间,设映射T：X→Y,■表示实数域,■表示复数域.
定义1［5］ 若x,y∈X且‖x+?姿y‖≥‖x‖,?坌?姿∈■,则称x和y是B-正交的,记为x⊥By.
定义2［7］ 设x,y∈X,?着∈［0,1］,若‖x+?姿y‖2≥‖x‖2-2?着‖x‖‖?姿y‖,?坌?姿∈■,则称x和y是?着-近似B-正交的,记为x■?着By.
定义3[7] 设x,y∈X,?啄∈［0,1),若‖x+?姿y‖≥（1-?啄）‖x‖,?坌?姿∈■,则称x和y是?啄-近似B-正交的,记为x?啄■B y.
定义4 设映射T：X→Y,?啄∈[0,1),若对任意的x,y∈X,x⊥B y?圯T（x）?啄⊥B T（y）,则称T是近似保B-正交的.
定义5[１３] 若x,y∈X且‖x+y‖等于‖x-y‖,则称x和y是等腰正交的,记为x⊥ I y.
定义6 [１6] 设x,y∈X,
?籽´&plun;（x,y）等于■■称为范数导数.
定义7 设映射T：X→Y,ε∈[0,1),若对任意的x,y∈X,x⊥I y?圯T（x）⊥εB T（y）,则称T是（I,B）-近似保正交的.
2 结论及其证明
为了完成定理的证明,先介绍几个引理.
引理1 设x,y∈X,则■⊥I■?圳‖x‖等于‖y‖.
证明 由定义5可知结论成立.
引理2[８] 设ε∈[0,1),x,y∈X,则
x⊥εB
y?圳ρ´_（x,eiθy）-ε‖x‖‖y‖≤0≤ρ´+（x,eiθy）+ε‖x‖‖y‖,?坌θ∈■.
引理3[8] 设u , v∈X,x∈■,定义映射为?渍：■→■为?渍（t）等于‖u+tv‖2+a‖u‖‖tv‖.若?渍（0）＜?渍（t）,?坌t∈[b1,b2] \｛0｝,其中b1＜0,b2＞0,则?渍（0）≤?渍（t）,?坌t∈■.
定理1 设ε∈[0,2-1),T：X→Y是非零（I,B）-近似保正交线性映射,则T有界且■‖T‖‖x‖≤‖T（x）‖,?坌x∈X.从而T是下有界的.
证明 设x,y∈X且‖x‖等于‖y‖等于1,则由引理1知■⊥ I ■,于是由（I,B）-近似保正交线性映射的定义知T(■)⊥εB T(■).从而由引
理2得?坌θ∈■,有
ρ´-T■,ei θ T■-
ε■ T ■■■ T ■■≤0(1)
和
0≤ρ´+T■,ei θ T■+
ε■ T ■■■ T■■ (2)
于是对任意的?酌∈（0,1）,
ρ´-T■,ei θ T■＜
（ε+?酌）■ T ■■ ■ T ■ ■,
由T是线性映射和范数导数的定义可知
■■■■+tei θ ■■■2-■■■■ ＜
2（ε+λ）■■■■■ ■■■ ,
由极限的保号性得,存在δ1＜0,使得?坌t∈[δ1,0),
■■■ 2＜■■+tei θ ■■ +
2（ε+?酌）■■■ ■ t■■(3)
同理由(2)式和极限的保号性得,存在δ2＜0,使得?坌t∈(0,δ2],(3)式成立,故?坌t∈[δ1,0）∪（0,δ2],(3)式成立.定义凸函数?渍：■→■,
?渍（t）等于■■+tei θ ■■ +
2（ε+?酌）■■■ ■ t■■.
则由引理3得?坌t∈■,?渍（0）≤?渍（t）,即
■ ■■ 2≤■ ■+tei θ ■■
2（ε+?酌）■ ■■ ■ t·■■ , (4)
在(4)式中令?酌→0得
■ ■■ 2≤■ ■+tei θ ■■＋2ε■ ■■ ■ t·■■ , (5)
在(5)式中令?兹等于0,t等于1得
■ T（x）+T（y）■ 2≤4■ T（x） ■ 2+
2ε■ T（x）+T（y）■ ■ T（x）-T（y）■ ,?坌x,y∈X.
则由文献[18]定理1的证明知T有界且
■■ T ■ ■ x ■ ≤‖T（x）‖ ,?坌x∈X.
定理2 设ε∈［０,２－１）,T：X→Y是非零（I,B）-近似保正交线性映射,则T：X→Y是近似保B-正交映射.
证明 由定理1知
■‖T‖‖x‖≤‖T（x）‖ ≤‖T‖‖x‖, ?坌x∈X.
设x,y∈X且x⊥ B y,即‖x+λy‖≥‖x‖,?坌λ∈■.于是?坌λ∈■,有
■ T（x）+λT（y） ■ 等于 ■ Ｔ(x+λy ) ■ ≥ ■ ■ T ■ ■ x+λy ■ ≥ ■ ■ T ■ ■ X ■ ≥
■ ■ T(x) ■ ≥ 1-1-■‖T(x)‖.
令δ等于 1-■,则‖T（x）+λT（y）‖≥ （1-δ）‖T(x)‖.由ε∈［０,２－１）知δ＜1,故T（x）δ⊥ B T（y）,从而T是近似保B-正交映射.
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空间论文参考资料：
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