原创《例谈昆明中考数学压轴题常考的四类问题》
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王 惠
（云南师范大学附属世纪金源学校初中部 650000）
随着新课程改革的进一步深入,昆明中考数学的压轴题由原来的以二次函数或圆为主体的单一命题方式改为以一次函数、二次函数甚至反比例函数为工具,在平面直角坐标系中结合多种几何图形的特征,对等量进行探究,计算距离、面积或周长的最值,动点问题的分析,特殊图形的存在性问题等.
压轴题的知识覆盖面广,综合性强,难度系数大,它既考查学生的数学基础知识的掌握,又考查学生数学方法的应用,特别注重创新能力的发挥和数学知识解决实际问题的能力.压轴题有较大的区分度,因此,它是中考选拔功能的集中体现,很多考生对压轴题望而却步.其实,对昆明近十年来中考数学的压轴题进行分析并归纳,发现常考的题型主要有三类：面积最值问题、特殊图形存在性问题、三角形相似的存在性问题.只要我们从本质上认识压轴题,了解压轴题,有的放矢,相信我们的考生会在这道题上有所突破.
一、压轴题难度区分
历年中考,压轴题一般是由3个小题组成（有时是4个）.第（1）题一般考查二次函数
解析式,容易上手,难度系数在0.7左右；第（2）题稍难,但还是属于常规题型,难度系数在0.5-0.7之间；第（3）题较难,能力要求较高,难度系数在0.2-0.4之间.“起点低,坡度缓,尾巴略翘”已成为昆明市中考数学试卷压轴题设计的一大特点.
二、压轴题常考题型分类
1.面积最值问题
此类问题是昆明市近几年中考数学试卷中常见的题型（2016年23题（2）、2014年23
题（2）、）难度不大,一般处于压轴题的第（2）题.这类题主要考查在坐标系中,某平面图形（以三角形为主）的面积的最大或最小值问题.此类问题的解决方法是过动点作一条与y轴平行的直线,将原图形分割成两个等底的三角形或梯形,将面积表示为关于动点的自变量的二次函数,再利用二次函数的性质求出最值.这种题型将初中几何问题和代数问题完美结合在一起,考生要具有较好的函数应用能力,才能顺理成章地解决此类问题.
例1、（2016昆明卷第23题）如图1,对称轴为直线x等于的抛物线经过B（2,0）、C（0,4）两点,抛物线与x轴的另一交点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值；
（3）如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．
解析：
本题（2）问的P点在抛物线BC上,四边形COBP为坐标系中的动态四边形.此题需要以P的横坐标为自变量,四边形COBP的面积为函数,得出二次函数的表达式,再根据二次函数的性质求最值.对于此类问题有两点解题技巧：1、寻找横竖三角形（或梯形）；2、面积分割.具体做法是在第一象限内抛物线上任取一点P（横坐标为m,纵坐标为二次函数的表达式中用m表示的y）,过P作PD⊥X轴,垂足为点D,线段PD将四边形COBP分成一个直角梯形和一个直角三角形,表示出面积S,化简后S是关于m的二次函数,求最值即可.
解答：
解：
（1）略（抛物线的解析式为：y等于﹣2x2+2x+4）
（2）如图1,
设点P（m,﹣2m2+2m+4）,过P作PD⊥x轴,垂足为D,
∴S等于S梯形+S△PDB等于 m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m）
等于﹣2m2+4m+4等于﹣2（m﹣1）2+6
∵﹣2＜0
∴S有最大值,则S最大等于6；
总结：这类题方法比较固定,因此难度系数不大,只要考生掌握好基本解题思路,熟练使用二次函数的性质,这题拿到满分的概率还是比较大的.
2.特殊图形的存在性问题
这类问题是新课改以来各省中考数学的传统问题,在每年的中考试题中都层出不穷,也
是昆明中考数学的考查重点,出现于2016年23题（3）问、2013年23题（3）问、2012年23题（3）问.这类题的命题特点是在坐标系中,当题目中某些点所构成的图形是特殊的几何图形时,求这些点的坐标,有时它的提问是：是否存在点,使得满足特殊的几何图形.其实这两种问题的意思是一样的,都是求满足特殊图形的点.常见的特殊几何图形有等腰、等边、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等.据统计这类问题只要出现一般都在最后一问,足见此题的难度系数比较大,涉及的解题思路比较灵活,所用知识也比较多,但也不是无规律可循.
例2、见例1的（3）问
解析：本题所求的点Q在X轴上,M在线段BC上,因此要解决此题必须先把这两个特殊的几何图形画出来,并且考虑问题要全面,也就是线段BM既可以作直角三角形MQB的斜边也可以作直角边.再把线段BC的解析式求出来,这样点M的坐标就可以表示出来了,然后根据特殊几何图形的特征就可以把Q点的坐标和M点的坐标联系起来,从而求出Q点坐标.
解答：
解：存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形,
理由是：
设直线BC的解析式为：y等于kx+b,
把B（2,0）、C（0,4）代入得：
解得：
∴直线BC的解析式为：y等于﹣2x+4
设M（a,﹣2a+4）
①如图2
∵△MQB是直角三角形
∴Q点的坐标为
∵△MQC是等腰三角形
∴CM等于MQ
∴
∴
解得
∴
②如图3
过A作AE⊥BC,垂足为E
则AE的解析式为：y等于x+
令
解得
则直线BC与直线AE的交点E（1.4,1.2）
设Q（﹣x,0）（x＞0）,
∵AE∥QM
∴△ABE∽△QBM
∴
∴
∴ ①
∵△CMQ为等腰三角形,△CMQ为直角三角形
∴△CMQ为等腰直角三角形
由勾股定理得：
∴
∴2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2] 等于x2+42 ②
由①②得：a1等于4（舍）,a2等于
当a等于时,x等于
∴Q（﹣,0）．
综上所述,当或Q（﹣,0）时△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形.
总结：本题的核心是考查直角三角形的存在性.对于特殊图形问题有两个解题规律：1、特殊标志2、讨论多值.每一种特殊图形都有一个有别于其他图形的标志,比如直角三角形的直角,等腰三角形的两腰相等.那么考生在解题时要抓住这一特征,把它作为突破口和解题途径.随后在分析问题时,会发现直角三角形MQB中,直角顶点并没有确定,可能是M,也可能是Q,因此要分两种情况.画出了直角三角形MQB后,等腰三角形MQC就容易画了.接着利用特殊几何图形的特征,如直角三角形的勾股定理,平行构成的相似三角形,等腰三角形的线段相等进行求解.
需要提醒各位考生的是,特殊图形存在性问题一般有多种情况,多个答案,我们做题时要注意全面考虑.
3.相似三角形存在性问题
在平面直角坐标系中,探究相似三角形的存在性问题也是昆明中考数学压轴题中的经典问题,如2015年23题（3）问、2011年25题（3）问.此种问题是几类问题中难度系数较大的类型,因为相似三角形的判定定理很多,需要考生根据具体条件进行选择,一旦对应点没找正确就会出现错误.相似三角形问题还存在两个难点：1、图形所处的特殊位置；2、多值情况.
例3、2015年昆明卷23题 在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）,与y轴交于点C,点A的坐标为（4,0）,抛物线的对称轴是直线
（1）求抛物线的解析式
（2）M为第一象限内抛物线上的一个点,过点M作MG⊥轴于点G,交AC于点H,当线段CM＝CH时,求点M的坐标
（3）在（2）的条件下,将线段MG绕点G顺时针旋转一个角（0°＜＜90°）,在旋转过程中,设线段MG与抛物线交于点N,在线段GA上是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与⊿ABC相似？如果存在,请求出点P的坐标；如果不存在,请说明理由.
解析：（1）、（2）问略.（3）从问题入手：以P、N、G为顶点的三角形与⊿ABC相似.首先用勾股定理判断△ABC为直角三角形,那么△PNG也是直角三角形,这样就画出△PNG了,在画图过程中会发现由于对应点不确定,可以画出三个△PNG.因此本题就分为了三种情况：①△ABC∽△NGP,②△ABC∽△GNP,③△ABC∽△PGN,然后根据相似三角形对应边成比例就可以列出相应的比例方程了,从而求出P的坐标.
解答:
解：存在以P、N、G为顶点的三角形与⊿ABC相似.
∵
∴在△ABC中,
∴△ABC为直角三角形,
设则
①若△ABC∽△N１GP１
∴
解得（舍）
∴
②若△ABC∽△P２GN２
∵点P２在线段GA外
∴P２舍.
③若△ABC∽△GN3
∴
解得（舍）
∴
综上所述,当、时,以P、N、G为顶点的三角形与⊿ABC相似.
总结：本题重点考查相似三角形的存在性,这类题的解题策略是：先分类,再画图,后计算.难点在于寻找分类标准,分类标准选择得恰当,可以使解的个数不重复不遗漏.
以上是结合昆明近几年中考压轴题常考的三类问题,对压轴题进行简单的分析.纵观这些题目,其命题方向和题型日趋一致,但中考压轴题所考察的并非孤立的知识点,也并非单一的思想方法,它是对考生综合能力的全面考察,所涉及的知识面广,所使用的数学思想也较全面,这就要求我们在平时的数学教学中不仅要教会学生基本的数学知识、解题技能、解题思路,更要渗透数学思想和数学方法,在初三复习时要善于总结这类题型的命题规律和解题方法,进行针对性的训练,并分析学生在这一内容中存在的薄弱环节,从培养良好的审题习惯入手,以严谨的态度解题,并在传授规律技巧和拓展思维方式等方面综合着力,相信一定能提高学生的解题准确率,从而提高得分率.
中考数学论文参考资料：
归纳上述，上述文章是适合中考数学和问题和昆明论文写作的大学硕士及关于中考数学本科毕业论文，相关中考数学开题报告范文和学术职称论文参考文献。
